Погрешность косвенных измерений (распространение)

Величину y не измеряют напрямую, а вычисляют по формуле y = f(x₁..xₙ) из нескольких аргументов, у каждого своя погрешность. Калькулятор распространяет погрешности аргументов на результат (квадратичное суммирование для независимых аргументов) и показывает, какой аргумент вносит основной вклад — на что тратить силы при уточнении. Это не суммарная погрешность измерительной цепи (последовательные звенья одной величины) — здесь разные величины входят в одну расчётную формулу. По МИ 2083-90.

Модель косвенного измерения

Тип формулы

Множитель C

Произведение / частное / степени. Показатель kᵢ — степень, в которой аргумент входит в формулу: для аргумента в знаменателе kᵢ отрицательный (частное), для квадрата kᵢ = 2, для корня kᵢ = 0.5.

Аргументы формулы (x₁..xₙ)

Обозн.	Значение xᵢ	Погрешность	Тип	Показатель kᵢ

Модель предполагает независимые (некоррелированные) погрешности — квадратичное суммирование. Для коррелированных аргументов нужна полная ковариационная формула (МИ 2083-90).

Что считается и как

Косвенное измерение: величину y вычисляют по формуле y = f(x₁..xₙ) из аргументов, каждый со своей погрешностью. Погрешность результата складывается из погрешностей аргументов через коэффициенты влияния (частные производные). Для независимых (некоррелированных) аргументов — квадратичное (RSS) суммирование.

Общий случай (нелинейная функция, независимые аргументы):

Δy = √( Σ (∂f/∂xᵢ · Δxᵢ)² )
δy = Δy / |y|

Мультипликативная модель y = C·∏ xᵢ^(kᵢ) (произведение / частное / степени) — удобнее считать в относительных величинах:

δy = √( Σ (kᵢ · δxᵢ)² )
Δy = δy · |y|

Вывод: ln y = ln C + Σ kᵢ·ln xᵢ ⇒ относительные погрешности складываются с весами kᵢ. Для аргумента в знаменателе kᵢ = −1, для квадрата kᵢ = 2, для корня kᵢ = 0.5.

Аддитивная модель y = Σ aᵢ·xᵢ (сумма / разность) — складываются абсолютные погрешности:

Δy = √( Σ (aᵢ · Δxᵢ)² )
δy = Δy / |y|

Вклад аргумента (для поиска доминирующего):

вклад_i = termᵢ / Σ termⱼ · 100 [%],
мультипл.: termᵢ = (kᵢ · δxᵢ)²; аддит.: termᵢ = (aᵢ · Δxᵢ)²

✓ Проверочный пример

Вход: R = U / I (мультипликативная). U = 10 В, δU = 1 % (k = +1); I = 2 А, δI = 0.5 % (k = −1).

Ожидается: δR = √(1² + 0.5²) = √1.25 = 1.118 %. R = 10/2 = 5 Ом ⇒ ΔR = 0.01118·5 = 0.0559 ≈ 0.056 Ом. Вклады: U = 1/1.25 = 80 %, I = 0.25/1.25 = 20 % (доминирует U).

Источник: МИ 2083-90 «ГСИ. Измерения косвенные», раздел для нелинейной зависимости при отсутствии корреляции (частные производные, квадратичное суммирование)

Это НЕ погрешность измерительной цепи. Калькулятор «Погрешность измерительной цепи» суммирует последовательные звенья (датчик → преобразователь → ПЛК), измеряющие одну величину. Здесь — распространение через расчётную формулу, где разные величины связаны математически.

Источники (проверены 2026-07-11): МИ 2083-90 «ГСИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей» — основной документ (оценка при линейной и нелинейной зависимости, отсутствии/наличии корреляции); РМГ 29-2013 «ГСИ. Метрология. Основные термины и определения» (термин «косвенное измерение»); ГОСТ 34100.3-2017 (JCGM 100:2008, GUM), п. 5 — закон распространения неопределённости u_c²(y) = Σ (∂f/∂xᵢ)²·u²(xᵢ) при независимых входах. Прим.: ГОСТ 8.207-76 и ГОСТ Р 8.736-2011 — это ПРЯМЫЕ многократные измерения, а не косвенные.

Опубликовано: 11 июля 2026 г.Обновлено: 11 июля 2026 г.Актуальность стандартов проверена при последнем обновлении

Калькулятор — вспомогательный инструмент для оценки. Для сертификации, проектной документации и приёмочных испытаний сверяйтесь с первоисточником стандарта.

Похожие калькуляторы