Линейная антенная решётка: ширина луча, направление, дифракционные лепестки
Что считается и как
Расчёт ведётся по классической теории антенных решёток (Balanis, Kraus, отраслевые руководства по ФАР). Нормативной методики ГОСТ на расчёт диаграммы направленности эквидистантной решётки не существует — это не ГОСТ-расчёт. Российский стандарт используется здесь только как источник терминологии: ГОСТ 23282-91 «Решётки антенные. Термины и определения» (действующий, введён с 01.01.1992, соответствует МЭК 50(712) в части терминов решёток) — оттуда «линейная антенная решётка» (п. 3), «эквидистантная линейная антенная решётка» (п. 4), «фазированная антенная решётка» (п. 38) и «дифракционные лепестки» (п. 47).
Длина волны и электрический шаг:
k = 2π / λ
Фазировка (наведение луча). Разность фаз соседних элементов в направлении θ равна k·d·sin θ. Главный максимум множителя решётки — там, где полная разность фаз обнуляется:
sin θ₀ = −β / (k·d) → β = −k·d·sin θ₀
β — межэлементный фазовый сдвиг (прогрессивный набег вдоль решётки), θ₀ отсчитывается от нормали к решётке. При β = 0 луч смотрит по нормали (broadside). Если |β/(k·d)| > 1 — луч уходит в «невидимую» область и физически не формируется. Осторожно при сверке с учебниками: Balanis отсчитывает угол от оси решётки (broadside у него 90°) и пишет ту же зависимость как β = −k·d·cos θ; формулы эквивалентны при замене θ_ось = 90° − θ_нормаль.
Ширина главного лепестка по уровню −3 дБ (равномерное возбуждение, большое N):
Δθ(θ₀) = Δθ / cos θ₀ — с учётом сканирования
Коэффициент 0,886 относится именно к равномерному возбуждению; N·d = L + d — эффективная длина апертуры (L = (N−1)·d — геометрическая длина). Множитель 1/cos θ₀ описывает укорочение проекции апертуры при отклонении луча: на 60° луч расширяется вдвое. Обе формулы асимптотические(выведены для большого N) и на коротких решётках слегка занижают ширину: сверка с точным множителем решётки при d = 0,5 λ даёт −0,9 % при N = 8 и −0,04 % при N = 32 по нормали, а расширение на 60° фактически составляет 2,25× при N = 8 против 2,0× по формуле. Оценка справедлива примерно до 60…70°.
Направленность и усиление:
G ≈ G_элемента + 10·log₁₀(N) [дБи]
D_скан-потери(θ₀) ≈ D₀ · cos θ₀ — оценка, не модель
Формула D₀ = 2·N·d/λ — для решётки изотропных элементов при равномерном возбуждении и большом N. Контроль согласованности: при d = λ/2 она даёт D₀ = N, ровно как и множитель решётки 10·log₁₀(N) при изотропном элементе. Важно про сканирование: у линейной решётки изотропных элементов КНД при отклонении луча практически не падает — расширение луча в плоскости сканирования компенсируется сужением конуса диаграммы (у классической end-fire-решётки КНД даже вдвое выше broadside, 4·N·d/λ против 2·N·d/λ). Поэтому множитель cos θ₀ мы выводим отдельной строкой и честно называем оценкой скан-потерь реальной решётки: он описывает спад ДН самого излучателя (≈ cos θ) и сокращение проекции раскрыва у плоской (двумерной) решётки, а не свойство идеализированной модели. Оценка усиления G — тоже сверху: взаимное влияние элементов, ошибки фазирования и потери в делителе и фазовращателях снижают реальное значение.
Дифракционные лепестки. Побочные главные максимумы множителя решётки появляются в направлениях:
Чтобы ни один из них не попал в видимую область (|sin θ| ≤ 1), нужно:
обратно: sin θ_max = λ/d − 1
Отсюда классические ориентиры: d ≤ λ/2 безопасен при любом угле сканирования; при θ₀ = 60° предел — 0,536 λ; при d = λ лепестки лезут уже на нормали. Именно это условие, а не ширина луча, обычно и определяет выбор шага решётки. Контроль формулы по крайним точкам учебника: при θ₀ = 0 она даёт d < λ (предел broadside у Balanis), при θ₀ = 90° — d < λ/2 (его же предел для end-fire).
Источники (проверены 2026-07-26). Формулы: Balanis C.A. «Antenna Theory: Analysis and Design» (Wiley), гл. 6 «Arrays: Linear, Planar and Circular» — множитель решётки, ширина луча с коэффициентом 0,886 при L = N·d (2,782/(N·k·d) на полную ширину) и направленность линейных решёток: broadside D₀ = 2N(d/λ), обычный end-fire 4N(d/λ). Условие отсутствия дифракционных лепестков d < λ/(1 + sin θ_max) и «d ≤ λ/2 безопасен при любом угле сканирования» — Analog Devices, «Phased-Array Antenna Patterns, Part 4 — Grating Lobes» (публикация Microwaves & RF), контрольная точка 0,536 λ при сканировании на 60°. Фазировка β = −k·d·sin θ₀ и условие максимумов k·d·sin θ + β = ±2mπ — Wikipedia «Phased array» и radartutorial.eu (Δφ = 360°·d/λ·sin Θs). Коэффициенты 0,886 и 2·N·d/λ дополнительно проверены прямым расчётом по точному множителю решётки: половинная мощность при N·ψ/2 = 1,3916 даёт 0,8859·λ/(N·d), а численное интегрирование мощности даёт ровно D₀ = N при d = λ/2 (N = 8, 16, 32). Тот же расчёт показал, что у линейной решётки изотропных элементов КНД при сканировании не падает — поэтому поправка cos θ₀ вынесена в отдельную строку как оценка скан-потерь реальной решётки. Терминология: ГОСТ 23282-91 «Решётки антенные. Термины и определения» — действующий, соответствует МЭК 50(712) в части терминов решёток; «дифракционные лепестки» — п. 47. Обратите внимание: ГОСТ 24375-80 — это «Радиосвязь. Термины и определения», а ГОСТ 23066-78 — «Устройства управления лучом фазированных антенных решёток. Термины и определения»; расчётных методик по ДН решёток нет ни в одном из них. Модель идеализированная (изотропные элементы, нет взаимного влияния и потерь) — окончательные значения подтверждайте моделированием и измерением ДН.