Градуировочная характеристика по МНК: коэффициенты и погрешность

Сняли градуировочные точки «эталон → показание» и нужно превратить их в градуировочную характеристику с честной погрешностью? Калькулятор строит прямую y = a + b·x методом наименьших квадратов, даёт остаточное СКО, СКО коэффициентов s_a и s_b, доверительные интервалы по коэффициенту Стьюдента, R², таблицу остатков с рычагами и обратное преобразование x̂ = (y − a)/b с оценкой неопределённости. Метрологическая рамка — РМГ 54-2002 и ГОСТ Р 8.736-2011; сам МНК — классическая статистика, не ГОСТ.

Точки градуировки

Пары «x y» — по одной в строке. x — входная (эталонная) величина, y — показание СИ. Разделитель внутри строки: пробел, табуляция или «;». Десятичный разделитель — точка или запятая. Строки с «#» игнорируются.

Распознано точек: 6. Минимум 3, рекомендуется от 5 (РМГ 54-2002, п. 3.2).

Параметры обработки

Доверительная вероятность P

Обратное преобразование: найти x по измеренному показанию y₀

y₀ — измеренное показание (те же единицы, что и y)

p — число повторных измерений y₀

Что считается и как

Калькулятор строит линейную градуировочную характеристику y = a + b·x по n парам «эталонное значение x_i — показание y_i» обычным (невзвешенным) методом наименьших квадратов. Метрологическая рамка — РМГ 54-2002 (действующая рекомендация по метрологии, введена 01.07.2004) и ГОСТ Р 8.736-2011 (действующий, схема «СКО → коэффициент Стьюдента → доверительные границы» и таблица t). Сам МНК — классическая математическая статистика, не ГОСТ.

Коэффициенты.

Sxx = Σ(xᵢ − x̄)², Syy = Σ(yᵢ − ȳ)², Sxy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)
b = Sxy / Sxx
a = ȳ − b·x̄

Разброс относительно прямой и погрешности коэффициентов. Остатки eᵢ = yᵢ − (a + b·xᵢ), число степеней свободы ν = n − 2 (две оценённые величины):

s = √( Σeᵢ² / (n − 2) ) — остаточное СКО
s_b = s / √Sxx
s_a = s · √( 1/n + x̄²/Sxx )
b ± t(P, ν)·s_b, a ± t(P, ν)·s_a
R² = 1 − Σeᵢ²/Syy

РМГ 54-2002 (ф. 15–18) даёт взвешенный МНК: веса w_n = (1/S²y_n)/S_w, то есть дисперсии выходного сигнала считаются известными из аттестации СО. Здесь реализован частный случай равных весов, где дисперсия оценивается по самим остаткам. Структура совпадает: при w = 1 формула (18) S_a = S_b·√(Σx²/n) алгебраически тождественна классической s_a = s·√(1/n + x̄²/Sxx).

Обратное преобразование. По измеренному показанию y₀ находим входную величину и её неопределённость (EURACHEM/CITAC Guide CG 4, ред. QUAM:2012.P1, прил. E, разд. E.4, ф. E3.2 и E3.5; p — число повторных измерений y₀):

x̂ = (y₀ − a) / b
u(x̂) = (s / |b|) · √( 1/p + 1/n + (x̂ − x̄)²/Sxx )
x̂ ± t(P, ν)·u(x̂)

Упрощённая оценка s/|b| — это тот же результат при p = 1, n → ∞ и x̂ = x̄, когда подкоренная скобка обращается в единицу. При p = 1 она всегда меньше полной оценки, то есть систематически занижает погрешность, и приводится только справочно. Точность максимальна в середине диапазона (x̂ = x̄) и падает к краям — это видно по слагаемому (x̂ − x̄)²/Sxx.

Проверка линейности — честные границы метода. Строгая проверка адекватности линейной модели требует F-критерия: остаточную дисперсию сравнивают с дисперсией воспроизводимости, а её можно получить только при повторных измерениях в точках градуировки. Здесь этого нет, поэтому даётся лишь индикатор — критерий серий по знакам остатков (Wald—Wolfowitz):

μ = 2·N₊·N₋/N + 1
σ² = 2·N₊·N₋·(2·N₊·N₋ − N) / (N²·(N − 1))
z = (R − μ)/σ, признак нелинейности при z ≤ −1.96

Остатки, рычаги и поиск промахов. Рычаг h_i = 1/n + (x_i − x̄)²/Sxx показывает, насколько сильно точка «держит» прямую (Σh = 2). Нормированный остаток r_i = e_i/(s·√(1 − h_i)) математически ограничен величиной √(n − 2). Отсюда практический вывод: при n ≤ 11 правило «остаток больше 3s» не может сработать в принципе — одиночный грубый промах раздувает саму оценку s и маскирует себя. Просматривайте таблицу остатков глазами; подтверждённый промах исключают и строят ГХ заново.

✓ Проверочный пример

Вход: 6 точек (x — эталонное давление, кПа; y — выходной ток, мА): 0/4.02, 20/7.20, 40/10.38, 60/13.60, 80/16.75, 100/19.96; P = 0.95; y₀ = 12.00 мА, p = 1

Ожидается: x̄ = 50, ȳ = 11.985, Sxx = 7000, Sxy = 1115.7 → b = 0.1593857 мА/кПа, a = 4.0157143 мА; Σe² = 9.0857·10⁻⁴ → s = 0.0150713; s_b = 1.80136·10⁻⁴, s_a = 0.0109078; ν = 4, t = 2.776 → b ∈ [0.1588857; 0.1598858], a ∈ [3.985434; 4.045994]; R² = 0.9999949. Обратное: x̂ = (12 − 4.0157143)/0.1593857 = 50.0941 кПа, u(x̂) = 0.102135, x̂ ± 0.28353 → [49.8106; 50.3776] кПа.

Источник: Формулы МНК — NIST/SEMATECH e-Handbook § 4.4.3.1; s_a и s_b — сверены с ф. (17)–(18) РМГ 54-2002; t(4; 0.95) = 2.776 — NIST § 1.3.6.7.2 и табл. Д.1 ГОСТ Р 8.736-2011; u(x̂) — EURACHEM/CITAC CG 4 (QUAM:2012.P1), ф. E3.5

Сам алгоритм дополнительно сверен с сертифицированным набором NIST StRD «Norris» (n = 36): получены B0 = −0.2623230738, s(B0) = 0.2328182343, B1 = 1.0021168180, s(B1) = 4.2979684820·10⁻⁴, s = 0.8847963961, R² = 0.9999937459 — совпадение с аттестованными значениями NIST во всех приведённых знаках.

Источники (проверены 2026-07-26): РМГ 54-2002 «ГСИ. Характеристики градуировочные средств измерений состава и свойств веществ и материалов. Методика выполнения измерений с использованием стандартных образцов» — действующая, введена 01.07.2004 (п. 3.2 — N ≥ 5 точек; п. 5.8 — условие применимости МНК; ф. 15–18 — коэффициенты и их СКО). ГОСТ Р 8.736-2011 «ГСИ. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений» — действующий (с поправкой ИУС № 10 за 2022 г., введённой в действие 17.09.2022), прил. Д, табл. Д.1 — коэффициенты Стьюдента. EURACHEM/CITAC Guide CG 4 (ред. QUAM:2012.P1), прил. E, разд. E.4 — неопределённость при обратном преобразовании по линейной ГХ. Классический МНК и критерий серий — не ГОСТ, общая математическая статистика (NIST/SEMATECH e-Handbook §§ 4.4.3.1 и 1.3.6.7.2). Рекомендация МИ 2175-91 по этой же теме приводится только как справочная: её текст доступен лишь сканами, а статус в разных реестрах указан противоречиво — ни одна формула калькулятора на неё не опирается.

Опубликовано: 26 июля 2026 г.Обновлено: 26 июля 2026 г.Актуальность стандартов проверена при последнем обновлении

Калькулятор — вспомогательный инструмент для оценки. Для сертификации, проектной документации и приёмочных испытаний сверяйтесь с первоисточником стандарта.

Похожие калькуляторы